Category: авто

Category was added automatically. Read all entries about "авто".

Две геометрии с олимпиады ФМШ

Меня тут на прошлой неделе впрягли олимпиаду ФМШ проводить. Я туда две своих геометрии поставил. Одну из них (11.4) даже один человек решил.

10.5. Окружность \omega касается сторон угла с вершиной A в точках B и C. Пусть M и N --- середины отрезков AB и AC соответственно. На большей дуге BC окружности \omega выбраны две произвольные точки P_1 и P_2. Прямые P_iB и P_iC пересекают прямую MN в точках E_i и F_i соответственно, i=1,2. Пусть \Omega_1 и \Omega_2 --- описанные окружности треугольников E_1AF_1 и E_2AF_2.
а) Пусть X --- вторая точка пересечения окружностей \Omega_1 и \Omega_2; Q --- точка пересечения прямых P_1B и P_2C; R --- точка пересечения прямых P_1C и P_2B; T --- точка пересечения касательных к \omega через точки P_1 и P_2. Докажите, что точки A, T, X, Q и R лежат на одной прямой.
б) Пусть l и m --- общие (внешние) касательные к окружностям \Omega_1 и \Omega_2. Докажите, что прямые l, m, P_1P_2 и MN пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

11.4. Четырёхугольник ABCD описан около окружности, которая касается его сторон AB, BC, CD и DA в точках X, Y, Z и T. Пусть M, N, K, L --- соответственно середины отрезков BX, BY, CY, CZ. Прямые TX и MN пересекаются в точке E; прямые TZ и KL пересекаются в точке F; прямая TY пересекает прямые MN и KL в точках P и Q соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников EBP и FCQ касаются (или совпадают).